Составим расчётную схему данной задачи, представив грунтовое основание, как упругое
полупространство.
![Графическое представление условий задачи для определения напряжений в массиве грунта от сосредоточенной силы.](Chapter6/Images/ris4.gif)
Графическое представление условий (расчётная схема) задачи для определения напряжений
в массиве грунта от сосредоточенной силы.
По условиям задачи необходимо определить значения вертикальных
напряжений σz и касательных напряжений
τzx; τzy
в точке М, расположенной на площадке, параллельной плоскости, ограничивающей массив
от действия сосредоточенной силы Р.
Решим эту задачу в три этапа:
- Определим σR – в радиальном направлении перпендикулярно R (в т. М)
- Определим σR' – в радиальном направлении (приложенном к площадке,
параллельной плоскости ограничивающей массив).
- Определим σz;τzx;τzy.
1 этап решения задачи:
Допустим, что под действием силы Р точка М переместилась в точку М1.
Обозначим S – перемещение точки М. Тогда можно записать:
![Перемещение точки М (см. выше приведённый рисунок).](Chapter6/Images/image005.gif)
Мы получили перемещение точки М (см. выше приведённый рисунок).
В представленной зависимости осадка точки будет прямо пропорционально
завесить от косинуса угла β и обратно пропорционально радиусу расположения
точки, где А – коэффициент пропорциональности.
Определим относительное перемещение точки:
![Относительное перемещение точки М (см. выше привенённый рисунок).](Chapter6/Images/image006.gif)
Согласно первому постулату теории упругости между напряжениями и деформациями должна
быть прямая зависимость, следовательно:
![Радиальное напряжение в точке М.](Chapter6/Images/image007.gif)
Радиальное напряжение в точке М.
В этой формуле В – коэффициент пропорциональности. Для определения σR
необходимо определить произведение коэффициентов АВ.
σR – определяется по методу, используемому в сопромате («метод сечений»:
мысленно разрезают балку, одну часть отбрасывают и оставшуюся часть уравновешивают).
![Расчётная схема для определения радиальных напряжений в грунте.](Chapter6/Images/ris5.gif)
Расчётная схема для определения радиальных напряжений в грунте.
Для решения данной задачи поступим аналогичным образом. Рассматрим полушаровое сечение
радиусом R и заменим отброшенное пространство напряжениями σR. Рассмотрим
изменение β в пределах dβ. Составим уравнение равновесия на ось Z:
![Условие равновесия по вертикальной оси.](Chapter6/Images/image009.gif)
![Элементарная полощадка при шаровом сечении.](Chapter6/Images/image010.gif)
![Промежуточные вычисления.](Chapter6/Images/image011.gif)
![Величина радиального напряжения в грунте зависит от координат точки и величины прикладываемой силы.](Chapter6/Images/image012.gif)
Величина радиального напряжения в грунте зависит от координат точки и величины прикладываемой
силы.
2 этап решения задачи:
![Схема пересчёта радиальных напряжений к вертикальным.](Chapter6/Images/ris6.gif)
Схема пересчёта радиальных напряжений к вертикальным.
Из геометрических соотношений можно записать:
![](Chapter6/Images/image014.gif)
![](Chapter6/Images/image015.gif)
![](Chapter6/Images/image016.gif)
![Величина радиальных напряжений, приложенных к площадке параллельно плоскости, ограничивающей массив.](Chapter6/Images/image017.gif)
Мы получили величину радиальных напряжений, приложенных к площадке параллельно плоскости,
ограничивающей массив.
3 этап решения задачи:
![](Chapter6/Images/image018.gif)
![](Chapter6/Images/image019.gif)
,
подставим и получим
![](Chapter6/Images/image022.gif)
Введём обозначение:
![Упрощая выше полученное выражение, вводим значение коэффициента К.](Chapter6/Images/image023.gif)
Упрощая выше полученное выражение, вводим значение коэффициента К. Тогда получим:
![Результат окончательного решения нашей задачи.](Chapter6/Images/image024.gif)
Результат окончательного решения нашей задачи.
– определяется по таблице.